Ayuda muenu y submenu con js

[gigars1]

Primero que todo un saludo a todos y espero me puedan ayudar.

Tengo un menú así

<ul id="menu">
<li><a herf="">Inicio</a></li>
<li><a href="">menu1</a>
<ul>
<li><a herf="">submenu1.1</a></li>
<li><a herf="">submenu1.2</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="">menu2</a>
<ul>
<li><a herf="">submenu2.1</a></li>
<li><a herf="">submenu2.2</a>
<ul>
<li><a herf="">submenu2.2.1</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>

y el js es

$('#menu li a').click(function(event){
var elem = $(this).next();
if(elem.is('ul')){
event.preventDefault();
$('#menu ul:visible').not(elem).slideUp();
elem.slideToggle();
}
});
Mi problema es que no puedo hacer funcionar bien el submenu2.2.1, cuando doy clic se esconde con el menu2

de antemano muchas gracias por su ayuda