Hola.
Muchas gracias por tu respuesta, pero no estoy usando el JList. Mira el codigo que tengo:  
 Código PHP:
    import javax.swing.JOptionPane;
import java.lang.String;
 
public class Lista extends JOptionPane{
    String Nombre;
    String Apellido;
    String Telefono;
    String Celular;
    Lista index;
    
    public Lista (String a, String b, String c, String d){
    Nombre = a;
    Apellido = b;
    Telefono = c;
    Celular = d;
    index = null;
    }
    public Lista (String a, String b, String c, String d, Lista sgte){
    this(a,b,c,d);
    index = sgte;
    }
    
    public String mensaje(String z){
    return JOptionPane.showInputDialog(z);
    }
    public void nuevoNodo(String a, String b, String c, String d){
        if (index == null){
            index = new Lista(Nombre, Apellido, Telefono, Celular);
        }else{
            index = new Lista(Nombre, Apellido, Telefono, Celular, index );
        }
        Nombre = a;
        Apellido = b;
        Telefono = c;
        Celular = d;
    }
    
    public void borrarNodo(String a){
        Lista borrarDeLista;
        String borrar;
        borrar = JOptionPane.showInputDialog("Cual nombre desea borrar?");
        if (borrar == Nombre){
            if ((index == null)&&(borrar!=Nombre)){
                index = new Lista(Nombre, Apellido, Telefono, Celular);
            }else if ((index!=null)&&(borrar!=Nombre)){
                index = new Lista(Nombre, Apellido, Telefono, Celular, index );
                }
            }
            borrarDeLista = index;
            Nombre =a;
        
    }
    public void showLista(){
        System.out.println("Nombre = "+Nombre);
        System.out.println("Apellido = "+Apellido);
        System.out.println("Telefono = "+Telefono);
        System.out.println("Celular = "+Celular);
        System.out.println("-------------------");
        if (index!=null){
            index.showLista();
        }
    }
    public static void main(String[] args){
    int cont = 0;
    String a;
    String b;
    String c;
    String d;
    Lista p = new Lista((JOptionPane.showInputDialog("Inserte el nombre")),(JOptionPane.showInputDialog("Inserte el apellido")), 
    (JOptionPane.showInputDialog("Inserte el telefono de la casa")), (JOptionPane.showInputDialog("Inserte el telefono de celular")));
    cont = Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("Quiere seguir??"));
    //if (cont > 1){
        while (cont==1){
            p.nuevoNodo(p.mensaje("Inserte el nombre"),p.mensaje("Inserte el apellido"),p.mensaje("Inserte el telefono de casa")
            ,p.mensaje("Inserte el celular"));
            cont = Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("Quiere seguir??"));
        }
    
    p.showLista();
    p.borrarNodo(p.mensaje("Inserte el nombre a borrar"));
    System.out.println("*************");
    p.showLista();
    }
} 
    
  Ya tengo una lista creada, ahora lo que estoy tratando de hacer es borrar un nodo de esta 
Gracias y un saludo