Hola amigo(drac94) pues muchas gracias, ya que estaba muy atorado en esto y con tu ayuda lo saque adelante, mil gracias

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Y para beneficio de todos la solución, pero antes les menciono lo que hice antes.
- Con el evento OnTextChanged de plano no funciona
- con el evento OnKeyPress, si funciona pero siempre va a faltar la última letra del texto
- Y el ganon(Ganador) fue el OnBlur, pues no conocía el evento y encontré que se ejecuta cuando el control pierde el foco
El código fue el siguiente:
en el el evento Load de la página agregamos el atributo al textbox, ya que si lo colocamos directo en el código aspx, el diseñador nos va a marcar error y no nos va a dejar depurar o ejecutar
Código:
Protected Sub Page_Load(ByVal sender As Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Me.Load
Me.TextBox1.Attributes.Add("OnBlur", "UneTexto()")
'onblur
End Sub
y en el aspx colocamos la función Javascript, para que la ejecute la página, entre donde cierra la etiqueta head y abre body:
Código:
<script type="text/javascript" >
function UneTexto()
{
document.getElementById('TextBox2').value = document.getElementById('TextBox1').value;
}
</script>