Usa algun administrador de Mysql tipo phpMyadmin que seguro tendras en tus servidores (y sino .. lo instalas .. es una aplicación PHP:
www.phpmyadmin.net ) ..
Con eso, seleccionas todas las tablas de tu BD y le dices: "exportar datos y estructura" .. Eso te generará un .sql (archivo) con todas las sentencias SQL listas para ejecutar en el mismo apartado "ejecutar SQL externo" que tiene el propio phpMyadmin del otro servidor .. Incluso le puedes decir que ponga sentencias "if exist" para que chafe o no las tablas a la hora de recuperar el "backup" ...
Si tienes acceso a Shell de Mysql de ambos servidores puedes usar:
mysqldump .. para hacer el backup
http://www.mysql.com/doc/en/mysqldump.html
y
LOAD DATA INFILE ... para restaurar ese backcup ..
http://www.mysql.com/doc/en/LOAD_DATA.html
Un saludo,