Matematicas discretas-ayuda

[naty27279]

En el conjunto A ={0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9} se considera la relación aRb si, y sólo si a−b es
múltiplo de 3. ¿Probar que es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente?

se los agradeciria mucho

[ZeKi]

Pides que te resolvamos el ejercicio? Intenta hacerlo tú y aquí se te podrá ayudar con las dudas que te surjan.

[Inon]

Espero que sea lo que necesites:

Solución
Observa que:
a − b es multiplo de 3 ⇐⇒ a − b = 3k; k ∈ Z.
luego la relacion puede escribirse en la forma
aRb ⇐⇒ a − b = 3k; k ∈ Z

Reflexiva. Para cada a de A se verifica que
a − a = 0
lo cual puede escribirse en la forma:
a − a = 3 · 0; 0 ∈ Z
luego aRa.

Simetrica. Si a y b son cualesquiera de A tales que aRb, entonces
a − b = 3k; k ∈ Z
de aquı que:
b − a = 3(−k); −k ∈ Z
y por tanto, bRa.

Transitiva. En efecto, si a, b y c son cualesquiera de A tales que aRb y bRc, entonces
a − b = 3k1; k1 ∈ Z y b − c = 3k2; k2 ∈ Z
y si sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, tendremos que
a − c = 3(k1 + k2); k1 + k2 ∈ Z
luego aRc.

Clases de equivalencia. Si a es cualquiera de A, entonces
x ∈ [a] ⇐⇒ xRa
⇐⇒ x − a = 3k; k ∈ Z
⇐⇒ x = a + 3k; k ∈ Z
luego
[a] = {x : x = a + 3k; k ∈ Z} .
Así pues,
[0] = {x : x = 3k; k ∈ Z} = {0, 3, 6, 9}
[1] = {x : x = 1 + 3k; k ∈ Z} = {1, 4, 7}
[2] = {x : x = 2 + 3k; k ∈ Z} = {2, 5, 8}
El conjunto cociente ser´a, por tanto,
A/R = {{0, 3, 6, 9} , {1, 4, 7} , {2, 5, 8}}[/HTML]

Este no es de mi coshecha, este ejemplo viene en un libro de matematicas discretas, ojala te sea de ayuda.

[emprear]

Iniciado por Inon

Espero que sea lo que necesites:
Este no es de mi coshecha, este ejemplo viene en un libro de matematicas discretas, ojala te sea de ayuda.

Debe de ser el mismo libro que tiene ella, con la diferencia que no lo lee.
Aparte me encanta cuando ni siquiera disimulan los enunciados y los ponen tal cual el profesor los dictó, (o vienen impresos en la hoja del examen)