Problema con sesion de usuario con Cookie

[rec321]

El problema viene de la siguiente manera:
Ingreso en una pagina con sesion de usuario con Cookie
Al abrir otro sitio web que cree con el mismo sistema de cookies puedo entrar
evidentemente me valida la cookie de l primer sitio que abri.
Estoy tratando de cambiar el nombre de la cookie pero no me va.

Código PHP:

  // LOGIN IN            
                    
        session_start();
             $_SESSION["usuario_username"] = $_POST["usuario_usr"]; 
 
            $_SESSION["usuario_password"]  = $_POST["usuario_pwd"]; 
 
                if ($_POST["usuario_rm"] == 1) {
                    setcookie("usuario_username",$_POST["usuario_usr"],time()+3600); 
                }
            
            header('Location: '.$login_redirect.''); 
   

Código PHP:

  <?
function usuario_chk_login()
{
    session_start();
    if (!isset($_SESSION["usuario_username"])) {
        echo "sin login";
        exit;
    }
}
?>   

Mi pregunta es como hacer para cambier el nombre de la cookie?
He probado cambiendo:
setcookie("usuario_username",
pero no me va.
Si alguien puede orientarme...
Gracias
rec321