Ya está resuelto, faltaban estas dos líneas (que no me quedan muy claras para qué sirven pero bueno):
Código PHP:
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYHOST, 2);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, FALSE);
Para el que le interese de esta manera se puede acceder a un servidor seguro y descargar un fichero:
Código PHP:
$cookie_file_path = "c:\cookiefile";//o lo que sea
$LOGINURL = "https://www.dominio.es/loquesea";
$agent = "Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.0; en-US; rv:1.4) Gecko/20030624 Netscape/7.1 (ax)";
$POSTFIELDS = 'user=usuario&pass=password';//o lo que sea
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL,$LOGINURL);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYHOST, 2);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERAGENT, $agent);
curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS,$POSTFIELDS);
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_FOLLOWLOCATION, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_COOKIEFILE, $cookie_file_path);
curl_setopt($ch, CURLOPT_COOKIEJAR, $cookie_file_path);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, FALSE);
$result = curl_exec ($ch);
curl_close ($ch);
unset($ch);
$url = 'https://www.dominio.es/Files/ficheroquesea';
$save_to='c:\destino';
$g=$save_to.basename($url);
echo $g;
$ch=curl_init($url);
$fp=fopen ($g, "w");
curl_setopt ($ch, CURLOPT_FILE, $fp);
curl_setopt ($ch, CURLOPT_HEADER ,0);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERAGENT, $agent);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYHOST, 2);
curl_setopt($ch, CURLOPT_SSL_VERIFYPEER, FALSE);
curl_setopt($ch, CURLOPT_COOKIEFILE, $cookie_file_path);
curl_setopt($ch,CURLOPT_CONNECTTIMEOUT,60);
curl_exec ($ch);
curl_close ($ch);
fclose($fp);