La ruta que deberías indicar sería absoluta tipo:
(windows) c:\nose\archivos\arch.log
(linux) \var\www\nose\archivos\arch.log
Siempre desde el raiz de ese servidor .. dato que puedes obtener con $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'] ...
Dependiendo de la configuración de PHP que uses ..podrías usar también rutas relativas tipo:
http://www.nose.tal/archivos/elarchivo.tal
Y también
../../archivos/elarchivo.tal
Es más seguro que uses rutas absolutas en tus llamadas a los archivos y si puedes .. deja tus archivos fuera del alcance del "DOCUMENT_ROOT" (por encima de el). Así no te podrán hacer un acceso directo al archivo tipo:
http://www.tal.tal/archivo.tal por qué no estára ahí .. y php será el que lo lea desde donde esté para entregarlo a descargar.
Por lo demás .. para el nombre del archivo que se va a ofrecer en la ventana de descarga, quedate con el nombre del archivo sólo (sin ruta) para eso puedes emplear la función basename() ...
Código PHP:
<?php
$archivo = '/var/www/nosedondelotengas/nose/arch.log';
header('Content-type: application/force-download');
header('Content-Disposition: attachment; filename="'.basename($archivo).'"');
readfile($archivo);
?>
Un saludo,