Hay muchas maneras. La cuestión es hacer un request al archivo php que tiene el proceso. Eso puede hacerse con una redirección (location=''algp.php;), la inclusión de una imagen (<img src="algo.php" />), una hoja de estilos(<link href="algo.php" />), un elemento script, etc. Lo más común es hacer el request con XMLHttpRequest o la submisión de un formulario cuyo atributo target apunte a un iframe oculto:
Código PHP:
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>Documento sin título</title>
</head>
<body>
<form action="proceso.php" method="post" target="pp">
<input name="algo" type="hidden" value="lo que sea" />
<label>
<input type="submit" name="button" id="button" value="Enviar" />
</label>
</form>
<iframe name="pp" style="position:absolute; top:-1500px; width:0; height:0"></iframe>
</body>
</html>