Sí, necesitas las dos cosas, el domino será el "identificador" de tu sitio, y el hosting donde estarán físicamente los ficheros.
Hay muchos sitios donde comprar ambos: dominio y hosting. Y muchos proveedores de hosting también incluyen el servicio de registro de dominios.
Por recomendar dos sitios para el dominio:
www.godaddy.com (inglés)
www.doominio.com (español)
Sobre el hosting, lo mejor es que acudas a algún buscador, como:
http://www.buscahost.com (español)
http://www.buscahosting.com (español)
http://www.buscandohost.com (español)
http://www.paginasdehosting.com (español)
http://www.hostsearch.com (inglés)
http://www.tophosts.com (inglés)
Elijas algunos y después hagas búsquedas sobre ellos aquí o pidas opiniones...
Si quieres empezar con hosting gratuito, este mensaje puede ayudarte:
La lista de los mejores hosting gratuitos
http://www.forosdelweb.com/f19/lista-mejores-hosting-gratuitos-51758/