hola, se me ocurre que puedes poner otro script en el cron que te renombre ese archivo
44 16 * * 1-5 root /home/josue/poner_fecha.sh
prueba algo como :
Código:
#!/bin/bash
DATE=`date +%Y-%m-%d` # EJMEPLO FECHA --- 2005-01-06
mv jmb_fecha.log jmb_$DATE.log
exit 0
guardalo como poner_fecha.sh y dale permisos
suerte