Lo que quieres es hacer una conexión remota desde tu applet directamente a una base de datos MySql que esté corriendo en un servidor. Se puede hacer pero le veo un problema: el applet solo puede llamar a 'casa', o sea al servidor de donde se descargó. Esta seguridad se puso desde la JCP (Java Community Process) para evitar que cualquier applet se metiese en servidores ajenos.
Código PHP:
Connection Conexion = DriverManager.getConnection("jdbc:mysql://www.miservidor.com/base_de_datos?user=mi_usuario&password=mi_clave");
Aunque pensandolo bien no te recomiendo que hagas una conexión remota a MySql desde un applet, ya que he visto por internet algunos descompiladores de codigo java, y como tienes que poner el usuario y contraseña a pelo en el codigo para enviar al servidor de MySql...
Por cierto: no uses la pasarela JDBC-ODBC, ya que es super-lenta si manejas muchos registros, mejor usar los controladores de tipo 3 y 4 que están escritos en Java puro y su velocidad de proceso es muy superior a la de la pasarela JDBC-ODBC (controlador de tipo 1).