Hola.
Lo que debes hacer es reemplazar la comilla (') por cualquier otro caracter, por lo gral lo haria con un * para poder ingresar a la BD. Quedaria mas menos asi.
resultado.Text = Replace(origen.Text, "'", "*")
Donde Origen.text esta el string donde se realizara la busqueda, despues la comilla simple como patron a buscar en el string y finalmente el * como caracter a reemplazar.
Ahora para desplegar el campo que esta guardado en la BD, debes reemplazar el * por la comilla simple, es decir, todo lo contrario y quedaria asi.
resultado.Text = Replace(origen.Text, "*", "'")
Ojala te sirva.
