Hola,
Al incluir el fichero, estas haciendo lo mismo que si copiases el codigo y lo pegases. Por eso las rutas son relativas al script que incluye. Tu backUp.php esta dentro del subdirectorio /privado/, pero si lo incluyes dentro de un ficehro que esta dentro de /privado/estadisticas/, entonces es como si lo ejecutases desde /privado/estadisticas/, y puede que en ese directorio no tengas permisos de escritura.
Para gz, existe gzopen() (
www.php.net/gzopen).
Saludos.