Tienes que incluir el JTextArea dentro dentro de un JScrollPane.
El codigo prodría ser el siguiente:
Código PHP:
JTextArea textArea = new JTextArea();
JScrollPane areaScrollPane = new JScrollPane(textArea);
areaScrollPane.setVerticalScrollBarPolicy(
JScrollPane.VERTICAL_SCROLLBAR_AS_NEEDED);
areaScrollPane.setPreferredSize(new Dimension(540, 70));
Saludos
kripton