Normalmente Mysql va de la mano de "PHP" en un servidor Linux (puede ser también windows) .. no he visto "data centers" que den alojamiento sólo a Mysql (si que a Oracle, MS SQL Server .. ).
Servicios gratuitos con "sólo" mysql .. antes existía
http://www.freesql.org/ .. no sé si todavía dan cuentas nuevas ... (revisalo).
Un saludo,