Pues claro, lo que debes hacer es manejar el evento de cuando el usuario haga click en el boton aceptar del FileDialog, en ese momento debes habrir un flujo de salida hacia el archivo que el usuario elegio, por ejemplo
Código PHP:
OutputStreamWriter out = new OutputStremaWriter(new FileOutputStream(new File("nombre_archivo.algo")));
Luego escribes lo que tenga el textarea sobre ese flujo y ya.
Saludos