Y en que parte eliminas el registro..?
Porque aqui:
Cita: fila = CType(ListView1.SelectedItems(0).Tag, Data.DataRow)
ListView1.Items.Remove(ListView1.SelectedItems(0))
DataAdapter.Fill(Datos, NombreTabla)
Datos.Tables(NombreTabla).Rows.Remove(fila)
Lo estás quitando del dataset pero no haz hecho la actualización al BD.