La verdad es que he de reconocer que mozilla es un buen navegador y como bien dicen aquí, muchas cosas no funcionan porque mozilla es muy estricto con los estandares o los cumples a rajatabla o no tienes nada que hacer.
Un error que suelo cometer mucho es que se me olvida ponerles id a los elementos, por ejemplo a un input text, y cuando uso getElementById me funciona bien en Explorer porque cuando no encuentra un id pilla el name pero Mozilla o le pones el id o que si quieres arroz Catalina (que me parece lógico porque si no la funcion debería llamarse getElementByIdOName
)