La instrucción que te puso orchabel sólo tiene un pequeño error y es que no completó la condición de cruce de las tablas:
Código:
select favoritos.dat_id,noticias.titulo_noticia,noticia_id
FROM favoritos INNER JOIN noticias ON noticias.dat_id = favoritos.dat_id
WHERE favoritos.user_name='$nick'
and noticias.dat_id like '%$dat_id%'
Un saludo.