Cita: quisiera saber que servidores gratuitos tienen instalada esta extensión
La mayoría de servicios gratuitos de hosting con soporte PHP no dán apenas extensiones extra a PHP .. como mucho las librerías gráficas GD y para de contar.
El soporte SQLite viene integrado en el cuerpo de PHP 5 si mal no recuerdo .. así que si encuentras un servicio de hosting con esa versión de PHP es más probable que tengas dicho soporte de esa extensión/funciones.
Un saludo,
PD: Muevo tu mensaje al foro de "Dominios y hosting" por si por allá te pueden recomendar mejor.