Yo ahora mismo estaba en el mismo proceso de
sys4net a
Hosting LMI, lo bueno de ambas empresas es que usan el cpanel, desde el cpanel de sys4net hice la petición de un backup completo, luego me en Hosting LMI pedi que me restauraran el backup, principalmente se necesita tener el mismo nombre de usuario, y nada, en 5 minutos, tenía todo listo, con todas las cuentas de correo, base de datos, listas de correo, ftp´s, etc. Luego cambie las dns de mis dominios y por ahora ningún problema.
No se si esto podrás hacerlo en tus proveedores, pero si puedes hacerlo intenta hacer esto, sino te tocará hacer todo manualmente, y bueno lo que te han comentado, hasta que no tengas restaurado todo, no cambies las dns apuntando al nuevo sitio de hosting.
Un saludo y suerte.