No es así como lo planteas por qué necesitas que sea tu script PHP el que llame y le pase las variables que corresponda a esa página externa para poder "capturar" lo que esta entregue y procesarlo por tu script, enviar esos datos por e-mail o lo que corresponda.
Tienes que tener un formulario igual al que usa esa
www.paginanosecuentos.com/formulario.html
en tu servidor y apuntar el "action" al script que vas a tener en tu servidor que a su vez llama (pasandole las variables que requiera) a la página que procesa los datos del formulario del servidor remoto (donde apunte el action= de ese fomulario de ese servidor remoto).
Un saludo,