Para tu pregunta nro. 1, aquí tienes un buen ejemplo:
https://github.com/sanwebe/Chat-Usin...and-PHP-Socket
Entender cómo funciona te llevará algunas búsquedas y lecturas, pero te aseguro que será gratificante.
Para tu pregunta nro. 2: no, en cualquier servidor compartido no podrás usarlos. Primero debe estar habilitada la extensión php_sockets y no todos la tendrán habilitada. Y también debes tener habilitadas las funciones de ejecución de programas (exec, shel_exec, etc.) y tampoco suelen estar habilitadas en servidores compartidos. Así que te tocará hablar con tu proveedor de hosting para que te asesore.
Aunque parece ser que últimamente PHP ha mejorado mucho y tranquilamente puede soportar muchos usuarios, hay otras tecnologías que puedes usar. Puedes averiguar por Node JS, que está más recomendado para eso o por su alter ego más moderno: Deno (es no-de con las sílabas al revés y está creado por la misma persona).
He visto chats basados en Node sin sockets, solo con EventSource de javascript y funcionan muy bien:
https://github.com/azproduction/event-source-chat 