Si quieres reproducirlo directamente desde youtube no se puede hacer lo que buscas o al menos no conozco un método.
Lo que tendrás que hacer es descargar dicho video y subirlo a tu propio servidor, para después colocarlo en tu sitio mediante alguna de estas etiquetas, cada una te proporcionara alguna facilidad o limitación, revisarlas
https://www.w3schools.com/tags/tag_video.asp https://www.w3schools.com/tags/tag_embed.asp https://www.w3schools.com/html/html_iframe.asp
Pero cuidado, una cosa es descargar el contenido para uso personal en tu computadora/dispositivo y algo muy distinto para usarlo en una web.
Como te comente antes hasta cierto punto es ilegal, al descargar el video le quitas la posibilidad de monetizar el video al usuario que lo hizo y cargo., dependiendo las circunstancias el usuario o youtube te pueden demandar legalmente.