Pues la verdad pensaba lo mismo, creía que iba ser de un tema de "Hotlink Protection" sin embargo a última hora probando esta opción sin poner https y poniendo la ruta de imágenes normal parece que funciona correctamente en los dos casos.
Código PHP:
Ver original$mail->msgHTML('
<img src="views/images/imagen.jpg" alt="Titulo" class="img-newsletter">
');
//Prueba de imagen adjunta.
$mail->AddAttachment("views/images/imagen.jpg");
No sé si con https sigue teniendo ese problema por ese error que citas de evitar vínculos directos a otras páginas así que esa parte tendré que volver a revisarla bien y consultarla en el servidor. Pero como indico en el ejemplo así ya funciona correctamente.
De nuevo gracias, saludos.