Hola!
Creo que lo que quieres es forzar la descarga del fichero, en tal caso tienes que reemplazar el Output por este.
Quando dices que te lo muestra en pantalla pero no es un pdf eso tiene que ser un pdf lo que te lo muestra en el plugin de pdf del navegador, pero técnicamente tienes que poder descargarlo y es un pdf.
Dale un vistazo a la documentación de fpdf que vas a encontrar mucha información.
Un saludo!