Hola amigo,
podrías hacer un constructor para tu clase Registro, en el cual reciba como parámetro la conexión que previamente ya realizaste ($conexion)
Código PHP:
Ver originalclass Registro{
private $conexion;
public function __construct($conexion){
$this->conexion = $conexion;
}
..-
}
$registrar = new Registro($conexion);
Quizá no es lo más óptimo, no lo sé, pero es una idea.
Saludos!