Código:
public void processFinish(String outlatitud,String outlongitud,String outnombre, String outimg,…){
Arqueolog fragmentArte= (Arqueolog)viewPager.getAdapter().instantiateItem( viewPager, viewPager.getCurrentItem());
fragmentArte.recogerDatos(outnombre, outimg,…);
Mapa fragmentArteMapa = (Mapa)viewPager.getAdapter().instantiateItem(viewP ager, viewPager.getCurrentItem());
fragmentArteMapa.recogerDatos(outlatitud,outlongit ud,outnombre);
}
Si necesitas pasar ambos datos a los fragment porque no remueves la condicion IF, en tu implementación al terminar
la llamada Async, unicamente va a cargar los datos del Tab seleccionado.