Hola:
Puedes probar poner los botones ocultos en el formulario, y los visibles fuera, pero dentro de etiquetas label asociadas al botón oculto...
<form>
...
<button type="submit" id="oculto" style="display: none" ></button>
...
</form>
...
<label for="oculto"><button>enviar</button></label>
Saludos
