Todo esto tambien dependera en donde este ubicado update.php
Pero hay que
leer bien la documentacion de los sistemas que se usan.
La sintaxis de update seria
Cita: $wpdb->update( $table, $data, $where, $format = null, $where_format = null );
Comprueba tu codigo y veras como te faltan cosas por poner como ya te han dicho.
Tienes la opcion de hacerlo con php directamente tambien si esto no te funciona, creas una conexion a la base de datos manualmente y actualizas los datos con puro php