¿Cuándo pasarme a un VPS?

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Que funcione lento no tiene mucha relación con tu aplicación, si no que probablemente el servidor del proveedor está sobrecargado, lo mejor que podrías hacer es contactarte con ellos para informarles que en ciertos horarios tu aplicación funciona más lento de lo normal.

Realmente no hay un número específico de visitas para el cual conviene pasarse a un VPS, depende de la complejidad de la aplicación, si tiene consultas a la base de datos, etc. Generalmente te darás cuenta cuando es el momento de dar el salto a un VPS o dedicado cuando 1) el proveedor te lo indique porque estás consumiendo muchos recursos 2) necesités algún módulo o configuración especial para el funcionamiento de tu aplicación.

Hoy en día si prefieres utilizar un VPS, para una estructura LAMP probablemente necesités un VPS con mínimo 2 GB de RAM más si consideras que el volumen esperado es de 5000 visitas diarias y es para producción.