Hola:
Son dos problemas.
Por un lado, el compilador de java que uses para compilar el applet. Si usas java 8 y no pones ninguna opción especial, el applet compilado sólo se puede ejecutar con esa versión de java o superior, pero nunca con anteriores. Para evitar este problema, aunque uses java 8 para compilar, pon en las opciones de compilado que el "target" es una versión más antigua (la más antigua que quieras soportar).
Por otro lado, los navegadores, no sé muy bien cuando, no ejecutan applets si no tienes la última versión de java instalada. Esto es más tema de seguridad y depende del usuario del navegador el "deshabilitar" o admitir la excepción que permite ejecutar applets sin tener el último java instalado (si el navegador lo permite
https://support.google.com/chrome/answer/6213033 )
Se bueno.