Alinear horizontalmente cuatro elementos dentro de un header

[_Nick_]

Creo que quieres esto:

Código HTML:

<header>
  <img src="http://lorempixel.com/1/1">
            <ul>
                <li><a href="#Boton1" class="botones-menu">Boton1</a></li>
                <li><a href="#Boton2" class="botones-menu">Boton2</a></li>
                <li><a href="#Boton3" class="botones-menu">Boton3</a></li>
                <li><input type="text" class="buscador"></li>
            </ul>
        </header>
 

Código CSS:

header {
    width: 100%;
    height: 70px;
    background: #111;
    display: flex;
    justify-content:space-between;
    flex-wrap: wrap;
}
 
img {
  width: 250px;
}
 
ul {
    display: flex;
    align-items: center;
    flex-wrap: wrap;
 
}
 
ul>li {
    list-style: none;
}
 
.botones-menu {
    margin: 10px;
    list-style: none;
    background: #333;
    color: #fff;
    text-decoration: none;
    width: 100px;
    height: 35px;
    display: flex;
    align-items: center;
    justify-content: center;
    -webkit-box-shadow: 4px 4px 10px rgba(0, 0, 0, 1);
    -moz-box-shadow: 4px 4px 10px rgba(0, 0, 0, 1);
    box-shadow: 0 1px 2px rgba(0, 0, 0, 0.5);
    font-size: .9em;
}
 
.botones-menu:hover {
    background: #222;
}
 
.buscador {
  margin-right: 10px;
  height: 30px;
}