Para mostrar nombre y correo electrónico de remitente o destinatario:
En cuanto a "quedarse en la misma página", parece que ahora lo único que aparece es una página con el mensaje de correo enviado y el resto en blanco. Supongo que tienes dos opciones:
1- Crea todas las etiquetas HTML/CSS necesarias para mostrar el mensaje en el mismo formato del resto de tus páginas.
2- Envía el formulario usando AJAX para evitar que se recargue la página y, al finalizar, muestra el mensaje de correo enviado por medio de un alert() de javascript.