Es muy habitual que los proveedores de hosting tengan desactivada la función mail() de PHP, es una gran puerta abierta para el envio de SPAM y de ella se aprovecha multitud de malware que se dedica a infectar los sitios (en WordPress uno de los que más está pegando ultimamente es el
CryptoPHP).
La solución en WordPresss es muy sencilla y, como bien dices, pasa por enviar el correo electrónico mediante SMTP. Solamente instala
este plugin y configúralo con algún servidor SMTP de correo que tengas (puede ser, por ejemplo, tu cuenta de Gmail). Así WP enviará todos los correos mediante SMTP y te olvidas de mail().