Mira, en el manual se indica lo siguiente:
Cita: La conexión MySQL. Si el identificador de enlace no se especifica, el último enlace abierto por mysql_connect() es asumido. Si no se encuentra dicho enlace, la función intentará establecer un nuevo enlace como si mysql_connect() fuese invocado sin parámetros. Si no se encuentra o establece una conexión, un error de nivel E_WARNING es generado.
Fuente:
http://php.net/mysql_query
En local te "funciona" porque probablemente no tienes una configuración especial para MySQL, de modo que se asumen todos los valores por defecto.
Y bueno, en remoto es natural que no es tan simple como parece, en dado caso debes conectar manualmente, seleccionar la base de datos correcta y finalmente ejecutar ahí tus consultas.
Lee el manual.