No funciona por que donde le dices que se agrege el texto escrito del textarea, pruebalo así:
Código HTML:
Ver original<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
<script src="http://code.jquery.com/jquery-1.11.2.min.js"></script>
<script language="JavaScript" type="text/javascript"> <!--
$("#id_input").on("keyup", function(e){
if (e.keyCode == 13) {
$("#id_div").html($("#ID_UNPUT").val());
}
});
//-->
<form action="PRUEBA.php">
<input type="text" id="id_input" />
Te he cambiado a un input ya que es mejor para que no realice saltos de línea.
Saludos.