Un poco mal escrito. Ten en cuenta que las comillas y los apostrofos tienen diferente uso en PHP que en SQL.
Código PHP:
$cuenta= "SELECT count(id_rol) FROM persona WHERE id_rol = '$rol'";
Por supuesto que además esto lo debes enviar a aejecutar a MySQL... suponiendo que lo estés haciendo, debes agregar en ese momento un
or die( ) que permita visualziar si MySQL está retornando algun tipo de error.
Si no capturas los errores de la base jamás sabrás qué es lo que pasa.