Código PHP:
$HTMLDocument = new DOMDocument(); //Creo objeto Dom
$HTMLDocument->loadHTMLFile('element.html');//Cargo el archivo html
$busquedaPorId = $HTMLDocument->getElementById('padre'); //busco por id el div#padre
$HTML = simplexml_import_dom($busquedaPorId);//creo objeto SimpleXMLElement
$TercerDiv = $HTML->div[2]; //Tercera posicion de los hijos div [0,1,2](3)
$DivHijo = $TercerDiv->div; //El hijo div del tercer div
echo $DivHijo; //muestro el contenido
/*MUESTRA
llegar aqui
*/
La verdad es que no soy un experto manejando Dom con PHP, probablemente haya mejores formas.
A mi se me ocurrio esta manera creando nuevamente el SimpleXML
Recorda que podes iterar cada elemento con un Foreach, por lo cual puedes generar busquedas etc, y acceder a los atributos mediante los corchetes ej: $HTML->div['id'].
Tomate un tiempo para leer el manual, y probar cosas.