Cuando mencione "no uses Javascript si no es necesario" no quise decir que no lo usaras, sino que moderaras su uso, se que necesitas usarlo, es obvio que si usas el método ajax es porque quieres hacer peticiones al servidor sin recargar la pagina por ello creo que quizás te interese este aporte:
http://www.forosdelweb.com/f13/aporte-ajax-sin-librerias-1117722/
Espero tengas mas suerte la próxima, sin embargo re-leyendo tu problema:
Cita:
Iniciado por erfrancis6 
NO consigo que cuando se elije ese segundo formulario, aunque no se escriba nada, el formulario se envía igualmente.
Quiero preguntar, ¿Cuando dices "aunque no se escriba nada", a que te refieres? Acaso te refieres a que aunque no se escriba nada en el campo que acaba de aparecer. Si es así solo debes eliminar el atributo require «osea eliminarla linea 4 y 8 de la función mostrar»
Si te refieres a que no se escriba nada en ninguno de los campos, la solución no deja de ser muy diferencie simplemente añadir unas cuantas lineas a la función mostrar del tipo:
Código Javascript
:
Ver originaldocument.getElementById("id_elemento").removeAttribute("required");
donde id_elemento seria c_email para el input de email, c_name para el input de nombre y así...
Ahora luego leo esto:
Cita:
Iniciado por erfrancis6 Quisiera que cuando se eligiese "Otros motivos", el nuevo formulario que aparece también fuese obligatorio de rellenar para poder enviar el formulario.
Y pienso ¡Entonces el formulario se obliga a completar o no
!