Encontré la solución y la posteo, El método Curl no me funcionó por más que probé.
El siguiente código descarga el archivo solicitado a nuestro servidor sin necesidad de que pase por nuestro ordenador, que es lo que yo quería.
Un besito a todos.
Fuente del código:
http://www.zoneartcss.com/webdevelopment/php/copiar-archivos-remotos-con-php/"]http://www.zoneartcss.com/webdevelopment/php/copiar-archivos-remotos-con-php/
Código PHP:
<?php
// incrementamos el limite de ejecucion para este script
ini_set('max_execution_time', 600);
// definimos la URL del archivo a descargar
$ArchivoRemoto = "http://zoneartcss.com/archivo.zip";
// definimos el nombre de la copia local
$ArchivoLocal = "el_mio.zip";
// Leemos el archivo remoto
$datos = file_get_contents($ArchivoRemoto)
or die("No se piede leer el archivo remoto");
// Escribimos los datos en el archivo local
file_put_contents($ArchivoLocal, $datos)
or die("No se puede escribir el archivo local");
// Mostramos un mensaje de confirmacion
echo "El archivo [$ArchivoRemoto] fue copiado a [$ArchivoLocal]";
?>