Esto sólo poría funcionar (y hay que analizar el caso) en un TRIGGER, ya que NEW y OLD sólo existen en el contexto de un TRIGGER.
Fuera de él, no funcionará.
A mi entender el proceso completo tyiene una estructura de datos mal diseñada...
¿Podrías explicar cómo funciona el que un valor esté en la tabla de clientes, y lo que debas actaulzair esté en la de facturas?
¿Existe realmente una única factura por cliente?
Porque ese update sólo funcionaría o tendría algún sentido si ese fuese el caso...