y... puedes jugar con la variable contador, los valores del condicional if lo puedes pasar por parámetro dependiendo de lo que necesites.
$path = "archivo.txt";
Código PHP:
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$contador = 1;
while ($linea = fgets($fp, 1024)) {
if($contador > 0 and $contador <= 10 ) {
// Muestro por pantalla
}else {
// No hago nada
}
// Incremento el contador
$contador += 1;
}