El campo id en la base es de casualidad un string? Si es así, tenés que encomillar la variable:
Código PHP:
<?php
$query = "SELECT nombre, nom_gen, sinopsis, fecha, imagen FROM video INNER JOIN gen_video ON video.idvideo = gen_video.idvideo INNER JOIN generos ON gen_video.idgenero = generos.idgeneros WHERE gen_video.idgenero = '$id'";
?>
Saludos