Cualquier cliente de mysql que uses tendra una utilidad para hacer backups y otra para hacer restore, usalas....
phpmyadmin debes usar exportar para generar un script, que puedes guardar en un archivo, con la estructura y los datos de la base de datos, y luego una vez conectado al segundo servidor debes importar el script.
La herramienta nativa es
mysqldump.
Si lees el script que generan estas aplicaciones veras que simplemente se trata de las querys que ejecutarias para crear las tablas y para insertar los datos.