saludos, gracias por la atención a mi problema.
te comento que hice el cambio en la inserción del ID al radio de la tabla
$radio = "<input type='radio' name='opciones' value='{$key['ID_Carrera']}' />";
luego agregue el codigo de funcion_carrera y lo que me indica es cuando selecciono una carrera con el radiobutton y le doy click al boton del submit me dice seleccione una carrera cosa que ya esta marcada.
aunque marco el radio no lleva nada en el post, no se como extraerlo, se supone debería servir bien. pero algo hago mal
CARRERA.PHP
<form action="funciones_carrera.php" method="post">
<div id = "tabla" >
<caption>
<h1>Carreras</h1>
</caption>
<?php echo $table_Carrera;?>
</div>
<div class="botonera">
<input class="btn btn-primary" type="submit" value="ver" name="ver">
</div>
</form>
funciones_carrera.php
if(!isset($_POST['opciones'])) {
die('Selecciona una carrera.');
}