Si es que transfiero el dominio a otro servidor, la pagina web se cae?

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Exacto, como dice carcasss, la página dejará de funcionar durante un tiempo... pero no en todos los casos. Te explico un poco.

Al cambiar de hosting, una vez subido y configurado todo, lo que tendrás que hacer es cambiar las DNS del dominio para que apunte al nuevo hosting. Un cambio de DNS siempre tiene un tiempo de propagación a nivel global que puede ser hasta 48 horas (aunque suele ser menos). Durante ese tiempo los servidores DNS irán refrescándose y las visitas a la web pueden funcionar o no, dependiendo de qué servidor DNS sea consultado por el usuario al ir a visitar la web. Y aquí también influyen las cachés de los navegadores y de las tarjetas de red de los visitantes. Te pongo un ejemplo.

Tú, al estar trabajando en esa web la estarás visitando a menudo, por lo que en tu ordenador tendrás cacheado que esa web responde a una IP determinada. Por tanto, al visitarla accede a la caché y recupera la IP almacenada (hasta pasado el tiempo de vida de la caché). Cuando cambies las DNS del dominio, si visitas la web intentará encontrarla en la IP anterior donde ya no estará (si la has quitado del antiguo hosting) y, por tanto, no te funcionará.

Sin embargo, alguien que no la haya visitado nunca no tendrá nada cacheado y cuando cambies las DNS del dominio al visitarla le llevará al nuevo hosting de forma inmediata (salvo que en el proceso visite un servidor DNS que tenga cacheada la IP anterior... pero sería la excepción).

Por eso el máximo de las 48 horas. Normalmente las cachés de los servidores DNS a nivel global se refrescan en, como mucho, ese tiempo y actualizan las IPs asociadas a los dominios.

Espero que te aclare un poco tus dudas.

Saludos!