Vamos a partir de un par de aclaraciones:
1) Que SQL Server y MySQL sean ambos DBMS
no implica que compartan todas las sintaxis, ni las capacidades. Esto hace que las soluciones pueden no ser compatibles entre ambos, por lo que no puedes tomar la diferencia a la ligera.
Las diferencias entre ambos DBMS son suficientes como para que se deban analizar con cuidado las cosas.
2) El planteo inicial que haces no tiene mucho sentido...
Si tienes dos tablas que no tienen campos en común, esto es, no tienen definida una relación de FK entre ambos, no puedes realizar una query con esa meta...
Así de simple.
Para hacer un JOIN entre dos tablas debe forzosamente haber algún tipo de relación, sea directa (FK) o transitiva (FK o valores de tablas intermedias).
Si no existe una forma de identificar unívocamente un registro dado de una tabla con uno o más de la otra tabla, simplemente estás proponiendo hacer algo imposible. Y en caso de intentarlo, obtendrías un producto cartesiano, lo que estaría mal.
Ahora bien, habiendo entendido eso, según dices tienes etas tablas:
Cita: RRHH(Nombre_Completo, Posición_Nómina, Departamento, Fecha_Ingreso, Fecha_salida)
Usuarios_Aplicativo(Id_usuario, Nombre_Completo, perfil)
Si esos datos son todos los que están en esas tablas, entonces no sirven, porque un nombre, por más completo que sea, no es un atributo que sea fiable. Para que lo fuese en la primera tabla el campo "Nombre_Completo" debería ser UNIQUE.... y no creo que lo sea.
Como mínimo deberías identificar los usuarios siempre con el mismo identificador, que pareciera ser "id_usuario".
Básicamente, tienes que corregir una base de datos defectuosa, y sin hacerlo sólo tendrás dolores de cabeza para lograr consultas mínimamente seguras.
¿Se entiende la idea?