Cita: Debo hacer una pagina web con carrito de compras y no se si hacerlo con java web o con javascript,
Depende a qué llames hacerlo en javascript, ten en cuenta que javascript se ejecuta en el navegador, java en el servidor. Cada lenguaje tiene su uso, y normalmente se combinan.
Cita: En caso de ser una de las opciones, ¿que necesito en el hosting?
Si usas java, necesitas un hosting que admita java, no hay muchos gratuitos.
Cita: en estos momentos tengo un hosting con mysql y apache (que supongo que trae tomcat)
No, apache es un servidor, tomcat un contenedor para java. En los hosting normales tendrás apache pero no tomcat.
Cita: la verdad es que puedo programar todo, pero en lo que es subirlo a internet soy un ignorante
Espero que sea una aplicación para una asignatura o algo así, te veo muy verde como para subir una aplicación real que alguien vaya a utilizar para vender.